Geometrie

🔎

Zurück zur Übersicht

Gauß-Verfahren

Vorgehen

💡
  1. Man eliminiert mithilfe einer Gleichung die Variable x1x_1 aus allen anderen Gleichungen.
  1. Mit den restlichen Gleichungen verfährt man für die Variable x2,x3,...x_2, x_3, ...
  1. Man löst die Gleichung der Stufenform schrittweise nach xn,xn−1,…,x1x_n, x_{n-1}, …, x_1 auf.

Beispiel

3x1+6x2−2x3=43x1+2x2+x3=01,5x1+5x2−5x3=−9\begin{alignat*} {5} 3 &x_1+ &6 &x_2- &2 &x_3= 4 \\ 3 &x_1+ &2 &x_2+ &&x_3= 0 \\ 1{,}5 &x_1+ &5 &x_2- &5 &x_3= -9 \end{alignat*}

Schritt 1:

x1\color{orange}x_1 eliminieren

I)II)III)(36−2−432101,55−5−9)\begin{array}{r} \textit{I)} \\ \textit{II)} \\ \textit{III)} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -2 & -4 \\ {\color{orange}3} & 2 & 1 & 0 \\ {\color{orange}{1{,}5}} & 5 & -5 & -9 \end{array} \right)

Schritt 2:

x2\color{orange}x_2 eliminieren

I)IIb) = II) - I)IIIb) = 2III) - I)(36−2−40−43404−8−14)\begin{array}{r} \textit{I)} \\ \textit{IIb) = II) - I)} \\ \textit{IIIb) = }2\textit{III) - I)} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -2 & -4 \\ 0 & -4 & 3 & 4 \\ 0 & {\color{orange}4} & -8 & -14 \end{array} \right)

Schritt 3:

Stufenform\color{orange}\textsf{Stufenform} auflösen

I)IIb)IIIc) = IIb) + IIIb)(36−2−40−43400−5−10)\begin{array}{r} \textit{I)} \\ \textit{IIb)} \\ \textit{IIIc) = IIb) + IIIb)} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & -2 & -4 \\ {\color{orange}0} & -4 & 3 & 4 \\ {\color{orange}0} & {\color{orange}0} & -5 & -10 \end{array} \right)

Lösung:

⇒L={(−1;0,5;2)}\boxed{ \Rightarrow L = \{(-1; 0{,}5;2)\} }
−5⋅x3=−10−4⋅x2+3⋅2=−43⋅x1+6⋅0,5−2⋅2=−4⇒x3=2⇒x2=0,5⇒x1=−1\begin{align*} -5 \cdot x_3 &= -10 \\ -4 \cdot x_2+3 \cdot {\color{darkgreen}2} &= -4 \\ 3 \cdot x_1 + 6 \cdot {\color{purple}0{,}5} - 2 \cdot {\color{darkgreen}2} &= -4 \end{align*} \quad \begin{align*} \Rightarrow &x_3 = {\color{darkgreen}2} \\ \Rightarrow &x_2 = {\color{purple}0{,}5} \\ \Rightarrow &x_1 = -1 \end{align*}

Lösungsmenge von LGS

💡

Lineare Gleichungssysteme können…

  1. …eindeutig Lösbar sein.
  1. …unlösbar sein (z.B. mit der Zeile 0 0 0 ∣ 20 \ 0 \ 0 \ | \ 2).
  1. …unendlich viele Lösungen haben (Nullzeile 0 0 0 ∣ 00 \ 0 \ 0 \ | \ 0 ⇒ Parameter einführen)

Beispiel

(1215132725312)→(121501120112)→(121501120000)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 7 \\ 2 & 5 & 3 & 12 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ \color{orange}0 & \color{orange}0 & \color{orange}0 & \color{orange}0 \end{array} \right)
Wa¨hle x3=t:⇒x2+t=2x2=2−t⇒x1+4−2t+t=5x1=1+t⇒Lt={(1+t;2−t;t)}\text{Wähle } x_3 = t: \qquad \begin{align*} \Rightarrow x_2 + t &= 2 \\ x_2 &= \color{darkgreen}2-t \end{align*} \quad \begin{align*} \Rightarrow x_1 + {\color{darkgreen}4 - 2t} + t &= 5 \\ x_1 = 1+ t \end{align*} \\{}\\ \boxed{ \Rightarrow L_t = \{(1+t; 2-t; t)\} }

Unterbestimmtes LGS

💡

Ein unterbestimmtes LGS hat weniger Gleichungen als Unbekannte.

So ein LGS ist niemals eindeutig Lösbar, sondern hat in der Regel unendlich viele Lösungen.

Beispiel

2x1+x2+x3=3x2−x3=1Wa¨hle x3=t:⇒x2=1+t⇒x1=1−t⇒Lt=(1−t;1+t;t)\begin{alignat*} {3} 2 &x_1+ &x_2 + &x_3 = 3 \\ &&x_2 - &x_3 = 1 \\ \end{alignat*} \\ \text{Wähle } x_3 = t: \quad \begin{align*} \Rightarrow x_2 &= 1 + t \\ \Rightarrow x_1 &= 1 - t \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow L_t = {(1-t; 1+t; t)} }

Überbestimmtes LGS

💡

Ein überbestimmtes LGS hat mehr Gleichungen als Unbekannte.

In diesen Fällen kann das LGS eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Vorgehen

Man klammert eine Lösung aus und löst das restliche LGS

Beispiel

(x1+x2+x3=1)x1−2x2+2x3=2−x1−x2+x3=7x2−x3=−3\begin{alignat*} {5} (&x_1 + &&x_2 + &&x_3 = 1) \\ &x_1 - &2 &x_2 + &2 &x_3 = 2 \\ -&x_1 - &&x_2 + &&x_3 = 7 \\ &&&x_2 - &&x_3 = -3 \end{alignat*}
(1−222−1−11701−1−3)IIb) = I) + II)(1−2220−33901−1−3)IIIb) = 3III)+IIb)(1−2220−3390000)\begin{align*} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array} \right) \\ \begin{array}{r} \\\textit{IIb) = I) + II)} \\\textit{} \end{array} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array} \right) \\ \begin{array}{r} \\\textit{} \\\textit{IIIb) = }3\textit{III)+IIb)} \end{array} &\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}
Wa¨hle x3=t:⇒x2=−3+t⇒x1=−4\text{Wähle } x_3 = t: \qquad \begin{align*} \Rightarrow x_2 &= -3 + t \\ \Rightarrow x_1 &=-4 \end{align*}
Probe mit ausgeklammerten Gleichungen:t+(−3+t)−4=12t−7=1t=4⇒Eindeutige Lo¨sung mit t=4:L=(−4;1;4)\text{Probe mit ausgeklammerten Gleichungen:} \qquad \begin{align*} t + (-3 + t) - 4 = 1 \\ 2t - 7 = 1 \\ t = 4 \end{align*} \\{}\\ \boxed{ \Rightarrow \text{Eindeutige Lösung mit } t = 4 : L={(-4;1;4)} }

LGS mit Parameter auf der rechten Seite

💡

Stehen bei einem LGS auf der rechten Seite ein oder mehrere Parameter, so wird das LGS auf Stufenform gebracht und schrittweise nach xn,xn−1,…,x1x_n, x_{n-1}, …, x_1 aufgelöst.

Dabei ist die Lösungsmenge in der Regel von dem oder den Parametern abhängig.

Beispiel

I)II)III)(3−212r5−4−1213−22r+6)IIb) = II) + I)IIIb) = III) + 2I)(3−212r8−602r+27−106r+6)IIIc) = 6IIIb) - IIb)(3−212r8−602r+2340034r+34)\begin{align*} \begin{array}{r} \textit{I)} \\ \textit{II)} \\ \textit{III)} \end{array} &\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 2r \\ 5 & -4 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 & 2r+6 \end{array} \right) \\ \begin{array}{r} \textit{} \\ \textit{IIb) = II) + I)} \\ \textit{IIIb) = III) + }2\textit{I)} \end{array} &\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 2r \\ 8 & -6 & 0 & 2r+2 \\ 7 & -1 & 0 & 6r+6 \end{array} \right) \\ \begin{array}{r} \textit{} \\ \textit{} \\ \textit{IIIc) = }6\textit{IIIb) - IIb)} \end{array} &\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 1 & 2r \\ 8 & -6 & 0 & 2r+2 \\ 34 & 0 & 0 & 34r+34 \end{array} \right) \end{align*}
⇒x1=r+1⇒x2=r+1⇒x3=r−1⇒L={(r+1;r+1;r−1)}\begin{align*} \Rightarrow &x_1 = r+1 \\ \Rightarrow &x_2 = r+1 \\ \Rightarrow &x_3 = r-1 \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow L=\{(r+1; r+1; r-1)\} }

Skalarprodukt

💡

Das Skalarprodukt zwischen a⃗=(a1a2a3)\vec a = \left(\begin{smallmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{smallmatrix}\right)und b⃗=(b1b2b3)\vec b = \left(\begin{smallmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{smallmatrix}\right) berechnet man mit:

a⃗∘b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3\vec a \circ \vec b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3

Satz

💡

Zwei Vektoren a⃗≠o⃗\vec a \neq \vec o und b⃗≠o⃗\vec b \neq \vec o sind genau dann senkrecht zueinander, wenn

a⃗∘b⃗=0\vec a \circ \vec b = 0

Rechenregeln

💡
a⃗∘b⃗=b⃗∘a⃗r⋅a⃗∘b⃗=(r⋅a⃗)∘b⃗=a⃗∘(r⋅b⃗)(a⃗+b⃗)∘c⃗=a⃗∘c⃗+b⃗∘c⃗a⃗∘a⃗=∣a⃗∣2≥0\begin{align} \vec a \circ \vec b &= \vec b \circ \vec a \\ r \cdot \vec a \circ \vec b &= (r \cdot \vec a) \circ \vec b = \vec a \circ ( r \cdot \vec b) \\ (\vec a + \vec b) \circ \vec c &= \vec a \circ \vec c + \vec b \circ \vec c \\ \vec a \circ \vec a &= |\vec a|^2 \geq 0 \end{align}

Beispiele

(−202)∘(124)=−2⋅1+0⋅2+2⋅4=6\left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\right) = -2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 6
(1−2−1)∘(311)=1⋅3+(−2)⋅1+(−1)⋅1=0\left(\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 0

Kreuzprodukt

💡

Das Kreuzprodukt zwischen a⃗=(a1a2a3)\vec a = \left(\begin{smallmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{smallmatrix}\right)und b⃗=(b1b2b3)\vec b = \left(\begin{smallmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{smallmatrix}\right) berechnet man mit:

a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)\vec a \times \vec b = \left(\begin{matrix} \color{#58C4DD}a_2b_3 - a_3b_2 \\ \color{#FC6255}a_3b_1 - a_1b_3 \\ \color{#83C167}a_1b_2 - a_2b_1 \end{matrix}\right)

Eselsbrücke (siehe Diagramm):

  1. Man schreibt die Vektoren zweimal untereinander.
  1. Streicht die erste und letzte Zeile weg.
  1. Multipliziert die verbleibenden Werte über Kreuz und bilde die Differenz der Produkte.

Satz

💡

Der resultierende Vektor aus a⃗×b⃗\vec a \times \vec b steht senkrecht auf a⃗\vec a und b⃗\vec b. Seine Länge entspricht der Fläche des von a⃗\vec a und b⃗\vec b aufgespannten Parallelogramms.

Beispiele

(3−51)×(−204)=(−5⋅4−1⋅01⋅(−2)−3⋅43⋅0−(−5)⋅−2)=(−20−14−10)\left(\begin{matrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -5 \cdot 4 - 1 \cdot 0\\ 1 \cdot (-2) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 0 - (-5) \cdot -2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -20 \\ -14 \\ -10 \end{matrix}\right)
(24−1)×(1−32)=(4⋅2−(−1)⋅(−3)(−1)⋅1−2⋅22⋅(−3)−4⋅1)=(5−5−10)\left(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 4 \cdot 2 - (-1) \cdot (-3) \\ (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) - 4 \cdot 1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 5 \\ -5 \\ -10 \end{matrix}\right)

Geradengleichung

💡

Gegeben sind ein Punkt PP mit seinem Ortsvektor p⃗\vec p und ein Vektor u⃗≠o⃗\vec u \neq \vec o.
Die Gerade durch den Punkt
PP in Richtung u⃗\vec u ist:

g:x⃗=p⃗+t⋅u⃗, t∈Rg: \vec x = \vec p + t \cdot \vec u, \ t \in \R

x⃗\vec x: Ortsvektor eines Punktes auf gg

p⃗\vec p: Stützvektor

u⃗\vec u: Richtungsvektor

tt: Parameter

Gerade durch zwei Punkte aufstellen

A=(1 ∣ 2 ∣ 1)B=(3 ∣ 5 ∣ 5)A = (1 \, | \, 2 \, | \, 1) \qquad B = (3 \, | \, 5 \, | \, 5)
g:x⃗=OA→+t⋅AB→=(121)+t⋅(234)g: \vec x = \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB} = \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right)

Punktprobe

Liegt PP auf gg?

P(3 ∣ 8 ∣−3)g:x⃗=(121)+t⋅(234)P(3 \, | \, 8 \, | -3) \qquad g: \vec x = \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right)
(38−3)=(121)+t⋅(234)∣−(121)(26−4)=t⋅(234)⇒t=1⇒t=2⇒t=−1⇒P liegt nicht auf g\begin{align*} \left(\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ -3 \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right) \quad \left|- \left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\right. \\ \left(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{matrix}\right) &= t \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right) \begin{align*} \Rightarrow t &= 1\\ \Rightarrow t &= 2\\ \Rightarrow t &= -1 \end{align*} \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow P \text{ liegt nicht auf }g }

Ebenengleichung: Parametergleichung

💡

Gegeben ist ein Stützvektor p⃗\vec p und zwei Spannvektoren u⃗\vec u und v⃗\vec v, die keine Vielfache voneinander sind.
Die
Parameterform oder Parametergleichung der Ebene EE ist:

E:x⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗r,s∈R,u⃗≠o⃗≠v⃗E: \vec x + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v \\ r,s \in \R, \vec u \neq \vec o \neq \vec v

Ebene durch drei Punkte aufstellen

A(1 ∣−1 ∣ 1)B(1,5 ∣ 1 ∣ 0)C(0 ∣ 1 ∣ 1)A(1 \, | -1 \, | \, 1) \qquad B(1{,}5 \, | \, 1 \, | \ 0) \qquad C(0 \, | \, 1 \, | \, 1)
E:x⃗=(1−11)⏟OA→+r⋅(0,52−1)⏟AB→+s⋅(−120)⏟AC→E: \vec x = \underbrace{ \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right) }_{\overrightarrow{OA}} + r \cdot \underbrace{ \left(\begin{matrix} 0{,}5 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}\right) }_{\overrightarrow{AB}} + s \cdot \underbrace{ \left(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) }_{\overrightarrow{AC}}

Punktprobe

Liegt PP auf EE?

P(5 ∣ 3 ∣−5)E:x⃗=(1−11)+r⋅(0,52−1)+s⋅(−120)P(5 \, | \, 3 \, | -5) \qquad E: \vec x = \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 0{,}5 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right)
(53−5)=(1−11)+r⋅(0,52−1)+s⋅(−120)∣−(1−11)(44−6)=r⋅(0,52−1)+s⋅(−120)\begin{align*} \left(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ -5 \end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 0{,}5 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \quad\left |- \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right) \right. \\ \left(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ -6 \end{matrix}\right) &= r \cdot \left(\begin{matrix} 0{,}5 \\ 2 \\ -1 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \end{align*}
⇒(0,5−14224−10−6)⇒s=−1⇒s=−4⇒r=6⇒P liegt nicht auf E\Rightarrow \left( \begin{array}{cc|c} 0{,}5 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & -6 \end{array} \right) \begin{align*} \Rightarrow s &= -1 \\ \Rightarrow s &= -4 \\ \Rightarrow r &= 6 \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow P \text{ liegt nicht auf } E }

Ebenengleichung: Normalengleichung

💡

Jede Ebene EE kann durch einen Normalenvektor n⃗\vec n und einen Stützvektor p⃗\vec p beschrieben werden:

E:(x⃗−p⃗)∘n⃗=0E: (\vec x - \vec p) \circ \vec n = 0

Ebene aufstellen

P(4 ∣ 1 ∣ 3)n⃗=(2−15)⇒E:[x⃗−(413)]∘(2−15)=0P(4 \, | \, 1 \, | \, 3) \qquad \vec n = \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) \\ \Rightarrow E: \left[ \vec x - \left(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) = 0

Punktprobe

Liegt QQ auf EE?

Q(2 ∣ 1 ∣ 4)E:[x⃗−(413)]∘(2−15)=0Q(2 \, | \, 1 \, | \, 4) \qquad E: \left[ \vec x - \left(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) = 0
[(214)−(413)]∘(2−15)=?0(−201)∘(2−15)=0−2⋅2+0⋅(−1)+1⋅5=01≠0⇒P liegt nicht auf E\begin{align*} \left[ \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) &\stackrel{?}{=} 0 \\ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) &= 0 \\ -2 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 &= 0 \\ 1 &\neq 0 \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow P \text{ liegt nicht auf } E }

Ebenengleichung: Koordinatengleichung

💡

Jede Ebene EE kann durch eine Koordinatengleichung beschrieben werden:

E:ax1+bx2+cx3=dE: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d

Dabei ist (abc)\left(\begin{smallmatrix} a \\ b \\ c \end{smallmatrix}\right) ein Normalenvektor der Ebene EE.

Ebene durch drei Punkten aufstellen

A(5 ∣−2 ∣ 4)B(−3 ∣ 0 ∣ 1)C(3 ∣ 4 ∣ 2)A(5 \, | -2 \, | \, 4) \quad B(-3 \, | \ 0 \, | \, 1) \quad C(3 \, | \ 4 \, | \, 2)
AB→=(−82−3)AC→=(−24−2)AB→×AC→=(−82−3)×(−24−2)=(8−10−28)⇒n⃗=(4−5−14)\overrightarrow{AB} = \left(\begin{matrix} -8 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\right) \qquad \overrightarrow{AC} = \left(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix}\right) \\ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \left(\begin{matrix} -8 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 8 \\ -10 \\ -28 \end{matrix}\right) \quad\Rightarrow \vec n = \left(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ -14 \end{matrix}\right)
❗

Probe machen: n⃗∘AB→=0\color{df5441}\vec n \circ \overrightarrow{AB} = 0 und n⃗∘AC→=0\color{df5441}\vec n \circ \overrightarrow{AC} = 0.

E:4x1−5x2−14x3=−26⏟NR (B eingesetzt): 4⋅(−3)−5⋅0−14⋅1=−26E: 4x_1-5x_2-14x_3= \underbrace{-26} \\ \text{NR (B eingesetzt): } 4 \cdot (-3) - 5 \cdot 0 - 14 \cdot 1 = -26

Punktprobe

Liegt PP auf EE?

P(3 ∣ 2 ∣ 2)E:4x1−5x2−14x3=−26P(3 \ | \ 2 \ | \ 2) \quad E: 4x_1 - 5x_2 - 14x_3 = -26
4⋅3−5⋅2−14⋅2=?−26−26=−26⇒P liegt auf E\begin{align*} 4 \cdot 3 - 5 \cdot 2 - 14 \cdot 2 &\stackrel{?}{=} -26 \\ -26 &= -26 \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow P \text{ liegt auf }E }

Spurpunkte und Spurgeraden

💡

Um eine Ebene in einem Koordinatensystem zu veranschaulichen, zeichnet man einen Ausschnitt der Ebene. Dabei orientiert man sich an den jeweiligen Schnittpunkten der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Punkte heißen Spurpunkte.

💡

Die Gesamtheit aller Schnittpunkte einer Ebene mit einer Koordinatenebene heißen Spurgerade.

In den folgenden Beispielen sind stets alle Spurpunkte\color{#FF862F} \text{Spurpunkte} und Spurgeraden\color{#FC6255}\text{Spurgeraden} eingezeichnet. Allerdings wird nur ein Teil der unendlichen Spurgeraden gezeigt.

Drei
Spurpunkte

Zwei
Spurpunkte

Ein
Spurpunkt

Achsenabschnittsform

💡

Wenn man alle Spurpunkte einer Ebene kennt, die nicht durch den Ursprung verläuft, so kann man direkt deren Achsenabschnittsform (eine spezielle Koordinatengleichung) anlegen.

Beispiel

S1(5 ∣ 0 ∣ 0)S2(0 ∣−2 ∣ 0)S3(0 ∣ 0 ∣ 0,5)S_1 (5 \, | \, 0 \, | \, 0) \quad S_2 (0 \, | -2 \, | \, 0) \quad S_3 (0 \, | \, 0 \, | \, 0{,}5)
⇒E:15x1−12x2+2x3=1∣⋅10E:2x1−5x2+20x3=10\begin{align*} \Rightarrow E: \frac 15 x_1 - \frac12 x_2 + 2x_3 &= 1 \quad | \cdot 10 \\ E: 2x_1 - 5x_2 + 20x_3 &= 10 \end{align*}

Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

💡
  1. Wenn der Normalenvektor der Ebene ein Vielfaches des Richtungsvektors ist, so schneidet die Gerade die Ebene orthogonal.
  1. Wenn das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden 0 ist, so ist die Gerade in der Ebene enthalten, wenn der Stützvektor in der Ebene enthalten ist. Ist der Stützvektor nicht in der Ebene enthalten, so ist die Gerade parallel zur Ebene.
  1. Ansonsten und in Fall 1 gibt es genau einen Schnittpunkt (Durchstoßpunkt).

Durchstoßpunkt berechnen

E:x1−x2+2x3=9g:x⃗=(320)+t⋅(−223)E: x_1 -x_2 + 2x_3 = 9 \qquad g: \vec x = \left(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) \qquad
Schneide E & g (g in E einsetzen): (3−2t)−(2+2t)+2⋅(0+3t)=91+2t=9∣−1∣:2t=4t=4 in g einsetzen:⇒S(−5 ∣ 10 ∣12)\text{Schneide } E \text{ \& } g \text{ (} g \text{ in } E \text{ einsetzen): } \\ \begin{align*} (3-2t) - (2+2t) + 2 \cdot (0 + 3t) &= 9 \\ 1 + 2t &= 9 \quad | -1 \quad |:2 \\ t &= 4 \end{align*} \\ t=4 \text{ in } g \text{ einsetzen:} \\ \boxed{ \Rightarrow S(-5 \, | \, 10 \, | 12) }

Gegenseitige Lage von Ebenen

Identisch

Normalenvektoren und Koordinatengleichungen sind Vielfache voneinander.

Parallel

Normalenvektoren sind Vielfache voneinander, aber Koordinatengleichungen sind keine vielfache voneinander.

Schneidend

Schnittgerade bestimmen

E1:3x1−4x2+x3=1E2:x1+2x2−3x3=2E_1: 3x_1 - 4x_2 + x_3 = 1 \\ E_2: x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 2
Unterbestimmtes LGS:I)  II)  I −3II) 3x1−4x2+x3=1x1+2x2−3x3=2x1−10x2+10x3=5\text{Unterbestimmtes LGS:} \\ \begin{align*} \textit{I) } \ \\ \textit{II) } \ \\ \textit{I } -3 {II) } \ \end{align*} \begin{alignat*} {5} 3 &x_1 - &4 &x_2 + &&x_3 = 1 \\ &x_1 + &2 &x_2 - & 3 &x_3 = 2 \\ &\phantom{x_1} - &10 &x_2 + &10 &x_3 = 5 \end{alignat*}
Wa¨hle x3=t:⇒x2=−12+t⇒x1=3+t⇒g:x⃗=(3−120)+t⋅(111)\text{Wähle } x_3 = t: \quad \begin{align*} \Rightarrow x_2 &= -\frac12 + t\\ \Rightarrow x_1 &= 3 + t \end{align*} \\ \boxed{ \Rightarrow g: \vec x = \left(\begin{matrix} 3 \\ -\frac12 \\ 0 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) }

Abstandsberechnungen (Übersicht)

💡

Hesse’sche Normal(en)form (HNF)

💡

Eine Ebenengleichung E:(x⃗−p⃗)∘n⃗0=0E: (\vec x - \vec p) \circ \vec n_0 = 0 heißt Hesse’sche Normal(en)form (HNF) von EE. n⃗0\vec n_0 heißt dabei Einheitsnormalenvektor.

Der Abstand d(E,Q)d(E, Q) zwischen EE und einem Punkt QQ bestimmt man mit der Formel

d(E,Q)=∣(q⃗−p⃗)∘n⃗0∣d(E, Q) = |(\vec q - \vec p)\circ\vec n_0|
💡

Für die Koordinatengleichung von E:a1x1+a2x2+a3x3=bE:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b gilt:

d(E,Q)=∣a1x1+a2x2+a3x3−b∣a12+a22+a32d(E, Q) = \frac { |a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b| }{ \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2} }

Beispiele

Normalenform:

E:[x⃗−(9−86)]∘(221)=0P(1 ∣ −1 ∣ 0)E: \left[ \vec x - \left(\begin{matrix} 9 \\ -8 \\ 6 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = 0 \qquad P(1 \, | \, {-1} \, | \, 0)
d(E,P)=∣(0−11)−(9−86)∘(221)∣⋅13⏟n⃗0=∣(−97−5)∘(221)∣⋅13=9⋅13=3d(E, P) = \left| \left(\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 9 \\ -8 \\ 6 \end{matrix}\right) \circ \right. \underbrace{ \left. \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right| \cdot\frac13 }_{\vec n_0} = \left| \left(\begin{matrix} -9 \\ 7 \\ -5 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right| \cdot\frac13 = 9 \cdot \frac 13 =3

Koordinatenform:

F:2x1−4x2+4x3=2Q(4 ∣ 2 ∣ 5)F: 2x_1-4x_2+4x_3 = 2 \qquad Q(4 \, | \, 2 \, | \, 5)
d(F,Q)=∣2⋅4−4⋅2+4⋅5−2∣22+42+42=∣18∣36=3d(F,Q) = \frac{ |2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 5 - 2| }{ \sqrt{2^2+4^2+4^2} } = \frac{|18|}{\sqrt{36}} = 3

Abstand Punkt-Ebene

💡

Unter dem Abstand dd eines Punktes PP von der Ebene EE versteht man die kleinste Entfernung PP zu EE.

Beispiel

E:x1+8x2−4x3=25P(2 ∣ 0 ∣ 1)E: x_1 + 8x_2 -4x_3 = 25 \qquad P(2 \, | \, 0 \, | \, 1)

Variante 1: HNF

d(E,P)=∣2−4−25∣12+82+42=∣−27∣81=279=3d(E, P) = \frac{ |2-4-25| }{ \sqrt{1^2+8^2+4^2} } = \frac{|{-27}|}{\sqrt{81}} = \frac{27}{9}=3

Variante 2: Durchstoßpunkt

Hilfsgerade g durch P in Richtung des Normalenvektorsg:x⃗=(201)+r⋅(18−4)\text{Hilfsgerade }g \text{ durch }P \text{ in Richtung des Normalenvektors} \\ g: \vec x = \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ 8 \\ -4 \end{matrix}\right)
E & g schneiden um Lotfußpunkt zu bestimmen2+r+8⋅8r−4⋅(1−4r)=25⇒r=13⇒F(73 ∣ 83 ∣−13)E \text{ \& } g \text{ schneiden um Lotfußpunkt zu bestimmen} \\ \begin{align*} 2+r + 8 \cdot 8r - 4 \cdot (1-4r) &= 25 \\ \Rightarrow r &= \frac13 \end{align*} \\\Rightarrow F\left( \frac73 \, \left| \, \frac83 \, \right| {-\frac13} \right)
d(E,P)=d(F,P)=∣FR→∣=∣(201)−(7383−13)∣=(13)2+(83)2+(43)2=9=3\begin{align*} d(E,P) = d(F,P) = |\overrightarrow{FR}| &= \left| \left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} \frac73 \\ \frac83 \\ -\frac13 \end{matrix}\right) \right| \\ &=\sqrt{ \left(\frac13\right)^2 + \left(\frac83\right)^2 + \left(\frac43\right)^2 } = \sqrt9 = 3 \end{align*}

Abstand Punkt-Gerade

💡

Algorithmus

  1. Stelle Hilfsebene HH auf, die den Punkt PP enthält und den Richtungsvektor von gg als Normalenvektor hat.
  1. Erhalte Punkt FF als Schnittpunkt von gg und HH.
  1. d(R,g)=∣FR→∣d(R, g) = |\overrightarrow{FR}|
💡

Formel

Für den Abstand eines Punktes RR zu einer Geraden g:x⃗=p⃗+s⋅u⃗g: \vec x = \vec p + s \cdot \vec u, gilt:

d(R,g)=∣PR→×u⃗0∣d(R, g) = |\overrightarrow{PR} \times \vec u_0|

Beispiel

g:x⃗=(431)+s⋅(21−2)R(2 ∣−3 ∣ 5)g: \vec x = \left(\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\right) \qquad R(2 \, | {-3} \, | \,5)

Variante 1: Algorithmus

1. Hilfsebene aufstellen⇒H:2x1+x2−2x3=−9NR: 2⋅2+(−3)−2⋅5=−9\text{1. Hilfsebene aufstellen} \\ \Rightarrow H: 2x_1 +x_2 -2x_3 = -9 \qquad \text{NR: } 2\cdot2 + (-3) - 2 \cdot 5 = -9
2. Schnittpunkt bestimmen2⋅(4+2s)+3+s−2⋅(1−2s)=−99+9s=−9∣−9 ∣:9s=−2⇒F(0 ∣ 1 ∣ 5)\text{2. Schnittpunkt bestimmen}\\ \begin{align*} 2 \cdot (4+2s) + 3 + s - 2 \cdot (1 - 2s) &= -9 \\ 9+9s &= -9 \quad |-9 \ |:9 \\ s &= -2 \end{align*} \\ \Rightarrow F(0 \, | \, 1 \, | \,5)
3. Abstand berechnend(R,g)=d(R,F)=∣RF→∣=22+42+02=20\text{3. Abstand berechnen}\\ d(R, g) = d(R, F) = |\overrightarrow{RF}| = \sqrt{2^2+4^2+0^2}=\sqrt{20}

Variante 2: Formel

RP→=(26−4)∣u⃗∣=3  ⇒  u⃗0=13⋅(21−2)\overrightarrow{RP} = \left(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{matrix}\right) \qquad |\vec u| = 3 \ \ \Rightarrow \ \ \vec u_0 = \frac1{3} \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\right)
d(R,g)=∣RP→×u⃗0∣=∣(26−4)×(21−2)∣⋅13⏟u⃗0=∣(−8−4−10)∣⋅13=180⋅19=20\begin{align*} d(R, g) = |\overrightarrow{RP} \times \vec u_0| &= \left| \left(\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ -4 \end{matrix}\right) \times \right. \underbrace{ \left. \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{matrix}\right) \right| \cdot \frac 13 }_{\vec u_0}\\ &= \left| \left(\begin{matrix} -8 \\ -4 \\ -10 \end{matrix}\right) \right| \cdot \frac 13 =\sqrt{180}\cdot\sqrt{\frac19} =\sqrt{20} \end{align*}

Abstand Gerade-Gerade (Parallel)

💡

Um den Abstand zwei paralleler Geraden gg und hh zu berechnen, berechnet man den Abstand des Stützpunktes RR von hh zur Geraden gg.

d(g,h)=d(g,R)d(g, h) = d(g,R)

Beispiel

Siehe Beispiel Abstand Punkt-Gerade.

Abstand Gerade-Gerade (Windschief)

💡

Gegeben sind die Geraden g:x⃗=p⃗+r⋅u⃗g: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u und h:x⃗=q⃗+s⋅v⃗h: \vec x = \vec q + s \cdot \vec v

  1. Stelle eine Hilfsebene EE mit Normalenvektor n⃗=u⃗×v⃗\vec n = \vec u \times \vec v auf, die PP enthält. Dadurch ist EE parallel zu hh und enthält gg.
  1. d(g,h)=d(E,h)=d(E,Q)⏟HNFd(g, h) = d(E, h) = \underbrace{d(E, Q)}_{\text{HNF}}

ODER

d(g,h)=∣(q⃗−p⃗)∘n⃗0∣d(g, h) = \left | (\vec q - \vec p) \circ \vec n_0 \right |

Beispiel

g:x⃗=(9−86)+r⋅(2−32)h:x⃗=(654)+s⋅(1−10)g: \vec x = \left(\begin{matrix} 9 \\ -8 \\ 6 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{matrix}\right) \qquad h: \vec x = \left(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right)
n⃗=(2−32)×(1−10)=(221)∣n⃗∣=3\vec n = \left(\begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \qquad |\vec n| =3
d(E,Q)=∣(654)−(9−86)∘(221)∣⋅13⏟n⃗0=∣(−313−2)∘(221)∣⋅13=18⋅13=6d(E, Q) = \left| \left(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 9 \\ -8 \\ 6 \end{matrix}\right) \circ \right. \underbrace{ \left. \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right| \cdot\frac13 }_{\vec n_0} = \left| \left(\begin{matrix} -3 \\ 13 \\ -2 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \right| \cdot\frac13 = 18 \cdot \frac 13 = 6

ODER

d(g,h)=∣((654)−(9−86))∘13⋅(221)⏟n⃗0∣=∣(−313−2)∘(232313)∣=6d(g, h) = \left| \left( \left(\begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} 9 \\ -8 \\ 6 \end{matrix}\right) \right) \circ \underbrace { \frac13 \cdot \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) }_{\vec n_0} \right| = \left| \left(\begin{matrix} -3 \\ 13 \\ -2 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} \frac23 \\ \frac23 \\ \frac13 \end{matrix}\right) \right| =6

Abstand Gerade-Ebene (Parallel)

💡

Um den Abstand der Ebene EE und der parallelen Gerade gg zu berechnen, nimmt man den Stützpunkt QQ von gg. Dann gilt:

d(E,g)=d(E,Q)⏟HNFd(E, g) = \underbrace{d(E, Q)} _{\text{HNF}}

Beispiel

E:x1+2x2−2x3=4g:x⃗=(421)+t⋅(011)E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 4 \qquad g: \vec x = \left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) + t \cdot \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right)
d(E,g)=d(E,(4 ∣ 2 ∣ 1))=∣4+4−2−4∣3=23d(E, g) = d(E, (4 \, | \, 2 \, | \, 1)) = \frac{|4+4-2-4|}{3} = \frac23

Abstand Ebene-Ebene (Parallel)

💡

Um den Abstand der parallelen Ebenen EE und FF zu berechnen, bestimmt man einen Punkt PP, der auf FF liegt. Dann gilt:

d(E,F)=d(E,P)⏟HNFd(E, F) = \underbrace{d(E, P)} _{\text{HNF}}

Beispiel

E:x1+2x2−2x3=4F:3x1+6x2−6x3=21⇒P(7 ∣ 0 ∣ 0)\begin{align*} E: x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 4 \qquad &F: 3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 21 \\&\quad\Rightarrow P(7 \, | \, 0 \, | \, 0) \end{align*}
d(E,F)=d(E,P)=∣7−4∣3=1d(E, F) = d(E, P) = \frac{|7-4|}{3} = 1

Gemeinsames Lot windschiefer Geraden bestimmen

💡

Um das gemeinsame Lot zweier windschiefer Geraden gg und hh zu bestimmen, findet man Punkte PP auf gg und QQ auf hh, sodass der Verbindungsvektor PQ→\overrightarrow{PQ} sowohl senkrecht zu gg als auch senkrecht zu hh ist.

Beispiel

g:x⃗=(770)+r⋅(4−52)h:x⃗=(012)+s⋅(011)Pr(7+4r ∣ 7−5r ∣ 2r)Qs(0 ∣ 1+s ∣ 2+s)\begin{align*} &g: \vec x = \left(\begin{matrix} 7 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}\right) + r \cdot \left(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}\right) \qquad h: \vec x &= \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right) + s \cdot \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) \\ &P_r(7+4r \, | \, 7-5r \, | \, 2r) &Q_s(0 \, | \, 1+s \, | \, 2+s) \end{align*}
Suche t & s, sodass PrQs→⊥g & PrQs→⊥h(7+4r7−5r−(1+s)2s−(2+s))∘(4−52)=028+16r−35+25r+5+5s+4r−4+2s=0−6+45r+3s=0⇒s=2−15r⇒In ander gleichung einsetzen(7+4r7−5r−(1+s)2r−(2+s))∘(011)=07−5r−1−s+2r−2−s=04−3r−2s=0∣ s=2−15r4−3r−4+30r=0r=0⇒s=2G( 7 ∣ 7 ∣ 0)H( 0 ∣ 3 ∣ 4)\text{Suche } t \ \& \ s \text{, sodass } \overrightarrow{P_rQ_s} \perp g \ \& \ \overrightarrow{P_rQ_s} \perp h \\ \begin{align*} \left(\begin{matrix} 7+4r \\ 7-5r-(1+s) \\ 2s-(2+s) \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 4 \\ -5 \\ 2 \end{matrix}\right) &= 0 \\ 28+16r-35+25r+5+5s+4r-4+2s &= 0 \\ -6 + 45r + 3s &= 0 \\ \Rightarrow s = 2-&15r \\ \xRightarrow {\text{In ander gleichung einsetzen}} \end{align*} \qquad \begin{align*} \left(\begin{matrix} 7+4r \\ 7-5r-(1+s) \\ 2r-(2+s) \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right) &= 0 \\ 7-5r-1-s+2r-2-s &=0 \\ 4-3r-2s &=0 \quad |\ s =2-15r \\ 4-3r-4+30r &= 0 \\ r &= 0 \\ \Rightarrow &s=2 \end{align*} \\ \boxed{ G(\, 7 \, | \, 7 \, | \, 0) \quad H(\, 0 \, | \, 3 \, | \, 4) }
💬

Wenn die Fragestellung nach den Lotfußpunkten fragt, reicht es die Punkte GG und HH zu bestimmen.
Wenn nach einer Geraden gefragt ist, muss man zusätzlich die Gerade durch
GG und HH bestimmen.

Winkel zwischen Vektoren

💡

Für den Winkel α\alpha zwischen a⃗\vec a und b⃗\vec b gilt:

cos⁡(α)=a⃗∘b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha)=\frac{ \vec a \circ \vec b }{ |\vec a| \cdot |\vec b|}

Beispiel

a⃗=(−231)b⃗=(403)\vec a = \left(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right)
∣a⃗∣=14∣b⃗∣=5cos⁡(α)=(−231)∘(403)14⋅5cos⁡(α)=−514⋅5α=cos⁡−1(−114)⏟DEGREE!≈105,5°|\vec a| = \sqrt{14} \qquad |\vec b| = 5 \\ \begin{align*} \\ \cos(\alpha) &= \frac{ \left(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right) }{ \sqrt{14} \cdot 5 } \\ \cos(\alpha) &= \frac{ -5}{ \sqrt{14} \cdot 5 } \\ \alpha &= \underbrace{ \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{14}}\right) }_{ \color{red} \text{DEGREE!} } \boxed{\approx 105{,}5°} \end{align*}

Schnittwinkel Gerade-Gerade

💡

Für den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden gg und hh mit Richtungsvektoren u⃗\vec u und v⃗\vec v gilt:

cos⁡(α)=∣u⃗∘v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos(\alpha) = \frac{ |\vec u \circ \vec v|}{ |\vec u| \cdot |\vec v|}

Beispiel

u⃗=(−231)v⃗=(403)\vec u = \left(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\right) \qquad \vec v = \left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right)
∣u⃗∣=14∣v⃗∣=5cos⁡(α)=∣(−231)∘(403)∣14⋅5cos⁡(α)=∣−5∣14⋅5α=cos⁡−1(114)⏟DEGREE!≈74,5°|\vec u| = \sqrt{14} \qquad |\vec v| = 5 \\ \begin{align*} \\ \cos(\alpha) &= \frac{ \left| \left(\begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right) \right| }{ \sqrt{14} \cdot 5 } \\ \cos(\alpha) &= \frac{ |-5|}{ \sqrt{14} \cdot 5 } \\ \alpha &= \underbrace{ \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) }_{ \color{red} \text{DEGREE!} } \boxed{\approx 74{,}5°} \end{align*}

Schnittwinkel Ebene-Ebene

💡

Für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen EE und FF mit Normalenvektoren n⃗E\vec n_E und n⃗f\vec n_f gilt:

cos⁡(α)=∣n⃗E∘n⃗F∣∣n⃗E∣⋅∣n⃗F∣\cos(\alpha) = \frac{ |\vec n_E \circ \vec n_F|}{ |\vec n_E| \cdot |\vec n_F|}

Beispiel

Siehe Beispiel Schnittwinkel Gerade-Gerade.

Schnittwinkel Gerade-Ebene

💡

Für den Schnittwinkel zwischen einer Geraden mit Richtungsvektoren u⃗\vec u und einer Ebene mit Normalenvektor n⃗\vec n gilt:

sin⁡(α)=∣u⃗∘n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣{\color{red}\sin(\alpha)} = \frac{ |\vec u \circ \vec n|}{ |\vec u| \cdot |\vec n|}
u⃗=(4−30)n⃗=(241)\vec u = \left(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \vec n = \left(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\right)
∣u⃗∣=5∣n⃗∣=21sin⁡(α)=∣(4−30)∘(241)∣5⋅21sin⁡(α)=∣−4∣5⋅21α=sin⁡−1(45⋅21)⏟DEGREE!≈10,1°|\vec u| = 5 \qquad |\vec n| = \sqrt{21} \\ \begin{align*} \\ \sin(\alpha) &= \frac{ \left| \left(\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 0 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\right) \right| }{ 5 \cdot \sqrt{21} } \\ \sin(\alpha) &= \frac{ |-4|}{ 5 \cdot \sqrt{21} } \\ \alpha &= \underbrace{ \sin^{-1}\left(\frac{4}{5 \cdot \sqrt{21}}\right) }_{ \color{red} \text{DEGREE!} } \boxed{\approx 10{,}1°} \end{align*}

Flächeninhalt Parallelogramm

💡

Für den Flächeninhalt AA eines Parallelogramms, dass von den Vektoren a⃗\vec a und b⃗\vec b aufgespannt wird, gilt:

A=∣a⃗×b⃗∣A=|\vec a \times \vec b|

Beispiel

a⃗=(4−27)b⃗=(150)\vec a = \left(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\right)
A=∣(4−27)×(150)∣=∣(−35722)∣≈41,93A = \left| \left(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\right) \right| = \left| \left(\begin{matrix} -35 \\ 7 \\ 22 \end{matrix}\right) \right| \approx 41{,}93

Flächeninhalt Dreieck

💡

Für den Flächeninhalt AA eines Dreiecks, dass von den Vektoren a⃗\vec a und b⃗\vec b aufgespannt wird, gilt:

A=12⋅∣a⃗×b⃗∣A = \frac12 \cdot |\vec a \times \vec b|

Beispiel

a⃗=(4−27)b⃗=(150)\vec a = \left(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\right)
A=12⋅∣(4−27)×(150)∣=12⋅∣(−35722)∣≈12⋅41,93=20,965A = \frac12 \cdot \left| \left(\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 7 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\right) \right| = \frac12 \cdot \left| \left(\begin{matrix} -35 \\ 7 \\ 22 \end{matrix}\right) \right| \approx \frac12 \cdot 41{,}93 = 20{,}965

Volumen Spat

💡

Für das Volumen VV eines Spats, der von den Vektoren a⃗,b⃗\vec a, \vec b und c⃗\vec c aufgespannt wird, gilt:

V=∣(a⃗×b⃗)∘c⃗ ∣V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c \, |

Beispiel

a⃗=(−420)b⃗=(−4−35)c⃗=(−2010)\vec a = \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \qquad \vec c = \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right)
V=∣[(−420)×(−4−35)]∘(−2010)∣=∣(102020)∘(−2010)∣=∣−20+200∣=180\begin{align*} V &= \left| \left[ \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\ &= \left| \left(\begin{matrix} 10 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\&=|{-20}+200| \\&= 180 \end{align*}

Volumen Pyramide mit viereckiger Grundfläche

💡

Für das Volumen VV einer Pyramide mit viereckiger Grundfläche, die von den Vektoren a⃗,b⃗\vec a, \vec b und c⃗\vec c aufgespannt wird, gilt:

V=13⋅∣(a⃗×b⃗)∘c⃗ ∣V = \frac13\cdot |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c \, |

Beispiel

a⃗=(−420)b⃗=(−4−35)c⃗=(−2010)\vec a = \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \qquad \vec c = \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right)
V=13⋅∣[(−420)×(−4−35)]∘(−2010)∣=13⋅∣(102020)∘(−2010)∣=13⋅∣−20+200∣=13⋅180=60\begin{align*} V &= \frac13 \cdot \left| \left[ \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\ &= \frac13 \cdot \left| \left(\begin{matrix} 10 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\&=\frac13 \cdot|{-20}+200| \\&=\frac13 \cdot 180 \\&= 60 \end{align*}

Volumen Pyramide mit dreieckiger Grundfläche

💡

Für das Volumen VV einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die von den Vektoren a⃗,b⃗\vec a, \vec b und c⃗\vec c aufgespannt wird, gilt:

V=16⋅∣(a⃗×b⃗)∘c⃗ ∣V = \frac16\cdot |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c \, |

Beispiel

a⃗=(−420)b⃗=(−4−35)c⃗=(−2010)\vec a = \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \qquad \vec b = \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \qquad \vec c = \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right)
V=16⋅∣[(−420)×(−4−35)]∘(−2010)∣=16⋅∣(102020)∘(−2010)∣=16⋅∣−20+200∣=16⋅180=30\begin{align*} V &= \frac16 \cdot \left| \left[ \left(\begin{matrix} -4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{matrix}\right) \right] \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\ &= \frac16 \cdot \left| \left(\begin{matrix} 10 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}\right) \circ \left(\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 10 \end{matrix}\right) \right| \\&=\frac16 \cdot|{-20}+200| \\&=\frac16 \cdot 180 \\&= 30 \end{align*}

Spiegelung

An einem Punkt spiegeln

💡
OP′→=OP→+2⋅PZ→=OZ→+PZ→\begin{align*} \overrightarrow{OP'} &= \overrightarrow{OP} + 2 \cdot \overrightarrow{PZ}\\ &= \overrightarrow{OZ} + \overrightarrow{PZ} \end{align*}

An einer Geraden spiegeln

💡
  1. Stelle eine Hilfsebene HH auf, die durch PP verläuft und als Normalenvektor den Richtungsvektor von gg hat.
  1. Erhalte den Punkt FF als Schnittpunkt von gg und HH.
  1. Punktspiegelung an FF: OP′→=OF→+PF→\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}

An einer Ebene Spiegeln

💡
  1. Stelle eine Gerade gg auf, deren Richtungsvektor dem Normalenvektor von EE entspricht und PP enthält.
  1. Erhalte den Punkt FF als Schnittpunkt von gg und EE.
  1. Punktspiegelung an FF: OP′→=OF→+PF→\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}

Symmetrieebene bestimmen

💡
  1. Berechne den Mittelpunkt MM von PP und P’P’.
  1. Stelle eine Gleichung für EE auf, sodass MM in EE liegt und PP′→\overrightarrow{PP'} der Normalenvektor von EE ist.

🔎

Zurück zur Übersicht