Analysis | Integrale

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Das Integral

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Sei $f$ eine auf dem Intervall $[a; b]$ integrierbare Funktion.

Das Integral $\int_a^b f(x) \,dx$ von $f$ über Intervall $[a; b]$ ist der orientierte Flächeninhalt den der Graphen von $f$ mit der x-Achse zwischen der unteren Grenze $a$ und der oberen Grenze $b$ einschließt.

Beispiel

\int_0^5 f(x) \,dx

Der rote Bereich stellt den negativen orientierten Flächeninhalt dar, während die grüne Fläche den positiven orientierten Flächeninhalt repräsentiert.

Rechenregeln Integrale

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\int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx \tag{1}

\int_a^b c\cdot f(x) \,dx= c\cdot \int_a^b f(x) \,dx \tag{2}

\int_a^b f(x) + g(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx \tag{3}

\int_b^a f(x) \,dx = -\int_a^b f(x) \,dx \tag{4}

Stammfunktion

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Für eine Funktion $f$ mit einer Stammfunktion $F$ gilt: $f = F'$

Zwei Stammfunktionen $F$ und $G$ unterscheiden sich um eine Konstante: $F(X) = G(X) +c, \, c\in \R$

Beispiele

f(x) = 3x^2 \qquad\Rightarrow\qquad F(X) = x^3 \quad\textsf{ oder }\quad G(X) = x^3 + 2

$f(x)$	$x^2$	$x$	$1$	$x^{-1} = \frac1x$	$x^{-2} = \frac1{x^2}$
$F(x)$	$\frac13x^3$	$\frac12x^2$	$x$	$\ln(x), x > 0$	$-x^{-1}$

$f(x)$	$\sin(x)$	$\cos(x)$	$e^x$	$\sqrt x = x^\frac12$
$F(x)$	$-\cos(x)$	$\sin(x)$	$e^x$	$\frac23\sqrt{x^3} = \frac23 \cdot x^\frac32$

⚠️

Stammfunktionen können durch einfaches Ableiten überprüft werden.

Stammfunktionen bestimmen

Sind $G$ und $H$ Stammfunktionen von $g$ und $h$ , so gilt:

	Potenzregel	Konstanter Faktor	Summenregel	Lineare Substitution
$f(x)$	$x^v$	$c\cdot g(x)$	$g(x) + h(x)$	$f(x)= g(ax+b)$
$F(x)$	$\frac1{v+1}\cdot x^{v+1}$	$c\cdot G(X)$	$G(X) + H(X)$	$F(x) =\frac1a\cdot G(ax+b)$

Beispiel

\begin{align*} f(x) &= 4\cdot\sin(3x+2)+4x \\ F(X) &= -\frac43\cos(3x+2)+2x^2 \end{align*}

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

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Sei $f$ eine im Intervall $[a; b]$ integrierbare und $F$ eine Stammfunktion von $f$ .
Dann gilt:

\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)

Beispiele

\int_0^2 x^2 \,dx = \left[\frac13 x^3 \right]_0^2 = \frac13\cdot2^3 - \frac13\cdot0^3 = \frac83

\int_2^5 x+2 \,dx = \left[\frac12x^2+2x\right]_2^5 = \frac12\cdot5^2+2\cdot5 - \color{red} ( \color{default} \frac12\cdot2^2+2\cdot2 \color{red} ) \color{default} = 22{,}5-6 = 16,5

Integralfunktion

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Die Integralfunktion $J_u(x)$ zu einer integrierbaren Funktion $f$ ist definiert als:

J_u(x) = \int_u^x f(t) \,dt

Es gilt:

$J_u'(x) = f(x)$ , d.h. $J_u$ ist eine Stammfunktion von $f$ .

$J_u(u) = 0$ , d.h. jede Integralfunktion hat eine Nullstelle.

⚠️

$f(x) = x \ \ \Rightarrow \ \ F(x) = \frac12x^2 + 10$ hat keine Nullstelle und ist daher keine Integralfunktion (aber trotzdem eine Stammfunktion von $f$ ).

Beispiel

$f(x) = 3e^x-2$ mit $u=0$ , $J_u$ als integralfreien Term darstellen:

\begin{align*} J_0(x) = \int_0^x3e^t-2 \,dt &= \left[3e^t-2t\right]_0^x \\ &= 3e^x-2x-(3e^0-2\cdot0) \\ &= \underbrace{3e^x - 2x - 3 }_{\textsf{integralfreier Term}} \end{align*}

Flächen zwischen Graphen

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Gegeben sind zwei differenzierbare und auf einem Intervall $I$ definierte Funktionen $f$ und $g$ , sowie zwei Zahlen $a, b \in I$ . Gilt $f(x) \geq g(x)$ für alle $x \in \ ]a; b[$ , so bestimmt man den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen auf dem Intervall $]a; b[$ mit

A = \int_a^bf(x)-g(x) \,dx

Andernfalls betrachtet man die Teilintervalle zwischen den Schnittpunkten von $f$ und $g$ separat.

Beispiel

\begin{align*} A= &\int_{-2}^0 g(x)-f(x) \,dx \\ &+\int_0^2 f(x)-g(x) \,dx \\ &... \end{align*}

Rotationskörper

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Gegeben ist ein über dem Intervall $[a; b]$ integrierbare Funktion $f$ . Rotiert die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse über dem Intervall $[a; b]$ um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen $V$ berechnet man mit

V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \,dx

Beispiel

\begin{align*} V &= \pi \int_0^4 (\sqrt x)^2 \,dx \\ &= \pi \int_0^4 x \,dx \\ &= \pi \left[\frac12 x^2\right]_0^4 \\ &=\pi(\frac12\cdot 4^2-\frac12\cdot0^2) \\ &=8\pi \end{align*}

links der Graph, rechts der Rotationskörper

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