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Gauß-Verfahren Vorgehen 💡
Man eliminiert mithilfe einer Gleichung die Variable x 1 x_1 x 1 ​  Mit den restlichen Gleichungen verfährt man für die Variable x 2 , x 3 , . . . x_2, x_3, ... x 2 ​ , x 3 ​ , ...  Man löst die Gleichung der Stufenform schrittweise nach x n , x n − 1 , … , x 1 x_n, x_{n-1}, …, x_1 x n ​ , x n − 1 ​ , … , x 1 ​  Beispiel 3 x 1 + 6 x 2 − 2 x 3 = 4 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0 1 , 5 x 1 + 5 x 2 − 5 x 3 = − 9 \begin{alignat*} {5}
3 &x_1+ &6 &x_2- &2 &x_3= 4 \\
3 &x_1+ &2 &x_2+ &&x_3= 0 \\
1{,}5 &x_1+ &5 &x_2- &5 &x_3= -9
\end{alignat*} 3 3 1 , 5 ​ x 1 ​ + x 1 ​ + x 1 ​ + ​ 6 2 5 ​ x 2 ​ − x 2 ​ + x 2 ​ − ​ 2 5 ​ x 3 ​ = 4 x 3 ​ = 0 x 3 ​ = − 9 ​ Schritt 1:
x 1 \color{orange}x_1 x 1 ​ 
I) II) III) ( 3 6 − 2 − 4 3 2 1 0 1 , 5 5 − 5 − 9 ) \begin{array}{r}
\textit{I)} \\
\textit{II)} \\
\textit{III)}
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & 6 & -2 & -4 \\
{\color{orange}3} & 2 & 1 & 0 \\
{\color{orange}{1{,}5}} & 5 & -5 & -9
\end{array}
\right)
I) II) III) ​ ​ 3 3 1 , 5 ​ 6 2 5 ​ − 2 1 − 5 ​ − 4 0 − 9 ​ ​ Schritt 2:
x 2 \color{orange}x_2 x 2 ​ 
I) IIb)  =  II)  -  I) IIIb)  =  2 III)  -  I) ( 3 6 − 2 − 4 0 − 4 3 4 0 4 − 8 − 14 ) \begin{array}{r}
\textit{I)} \\
\textit{IIb) = II) - I)} \\
\textit{IIIb) = }2\textit{III) - I)}
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & 6 & -2 & -4 \\
0 & -4 & 3 & 4 \\
0 & {\color{orange}4} & -8 & -14
\end{array}
\right)
I) IIb) = II) - I) IIIb) = 2 III) - I) ​ ​ 3 0 0 ​ 6 − 4 4 ​ − 2 3 − 8 ​ − 4 4 − 14 ​ ​ Schritt 3:
Stufenform \color{orange}\textsf{Stufenform} Stufenform 
I) IIb) IIIc)  =  IIb)  +  IIIb) ( 3 6 − 2 − 4 0 − 4 3 4 0 0 − 5 − 10 ) \begin{array}{r}
\textit{I)} \\
\textit{IIb)} \\
\textit{IIIc) = IIb) + IIIb)}
\end{array}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & 6 & -2 & -4 \\
{\color{orange}0} & -4 & 3 & 4 \\
{\color{orange}0} & {\color{orange}0} & -5 & -10
\end{array}
\right) I) IIb) IIIc) = IIb) + IIIb) ​ ​ 3 0 0 ​ 6 − 4 0 ​ − 2 3 − 5 ​ − 4 4 − 10 ​ ​ Lösung:
⇒ L = { ( − 1 ; 0 , 5 ; 2 ) } \boxed{
\Rightarrow L = \{(-1; 0{,}5;2)\}
} ⇒ L = {( − 1 ; 0 , 5 ; 2 )} ​ − 5 ⋅ x 3 = − 10 − 4 ⋅ x 2 + 3 ⋅ 2 = − 4 3 ⋅ x 1 + 6 ⋅ 0 , 5 − 2 ⋅ 2 = − 4 ⇒ x 3 = 2 ⇒ x 2 = 0 , 5 ⇒ x 1 = − 1 \begin{align*}
-5 \cdot x_3 &= -10
\\
-4 \cdot x_2+3 \cdot {\color{darkgreen}2} &= -4
\\
3 \cdot x_1 + 6 \cdot {\color{purple}0{,}5} - 2 \cdot {\color{darkgreen}2} &= -4
\end{align*}
\quad
\begin{align*}
\Rightarrow &x_3 = {\color{darkgreen}2} \\
\Rightarrow &x_2 = {\color{purple}0{,}5} \\
\Rightarrow &x_1 = -1
\end{align*} − 5 ⋅ x 3 ​ − 4 ⋅ x 2 ​ + 3 ⋅ 2 3 ⋅ x 1 ​ + 6 ⋅ 0 , 5 − 2 ⋅ 2 ​ = − 10 = − 4 = − 4 ​ ⇒ ⇒ ⇒ ​ x 3 ​ = 2 x 2 ​ = 0 , 5 x 1 ​ = − 1 ​ Lösungsmenge von LGS 💡
Lineare Gleichungssysteme können…
…eindeutig Lösbar sein. …unlösbar sein (z.B. mit der Zeile 0  0  0  ∣  2 0 \ 0 \ 0 \ | \ 2 0  0  0  ∣  2  …unendlich viele Lösungen haben (Nullzeile 0  0  0  ∣  0 0 \ 0 \ 0 \ | \ 0 0  0  0  ∣  0  Beispiel ( 1 2 1 5 1 3 2 7 2 5 3 12 ) → ( 1 2 1 5 0 1 1 2 0 1 1 2 ) → ( 1 2 1 5 0 1 1 2 0 0 0 0 ) \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 7 \\
2 & 5 & 3 & 12
\end{array}
\right)
\rightarrow
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\rightarrow
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 5 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
\color{orange}0 & \color{orange}0 & \color{orange}0 & \color{orange}0
\end{array}
\right) ​ 1 1 2 ​ 2 3 5 ​ 1 2 3 ​ 5 7 12 ​ ​ → ​ 1 0 0 ​ 2 1 1 ​ 1 1 1 ​ 5 2 2 ​ ​ → ​ 1 0 0 ​ 2 1 0 ​ 1 1 0 ​ 5 2 0 ​ ​ W a ¨ hle x 3 = t : ⇒ x 2 + t = 2 x 2 = 2 − t ⇒ x 1 + 4 − 2 t + t = 5 x 1 = 1 + t ⇒ L t = { ( 1 + t ; 2 − t ; t ) } \text{Wähle } x_3 = t:
\qquad
\begin{align*}
\Rightarrow
x_2 + t &= 2 \\
x_2 &= \color{darkgreen}2-t
\end{align*}
\quad
\begin{align*}
\Rightarrow
x_1 + {\color{darkgreen}4 - 2t} + t &= 5 \\
x_1 = 1+ t
\end{align*}
\\{}\\
\boxed{
\Rightarrow L_t = \{(1+t; 2-t; t)\}
} W a ¨ hle x 3 ​ = t : ⇒ x 2 ​ + t x 2 ​ ​ = 2 = 2 − t ​ ⇒ x 1 ​ + 4 − 2 t + t x 1 ​ = 1 + t ​ = 5 ⇒ L t ​ = {( 1 + t ; 2 − t ; t )} ​ Unterbestimmtes LGS 💡
Ein unterbestimmtes LGS hat weniger Gleichungen als Unbekannte.
So ein LGS ist niemals eindeutig Lösbar, sondern hat in der Regel unendlich viele Lösungen .
Beispiel 2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 2 − x 3 = 1 W a ¨ hle x 3 = t : ⇒ x 2 = 1 + t ⇒ x 1 = 1 − t ⇒ L t = ( 1 − t ; 1 + t ; t ) \begin{alignat*} {3}
2 &x_1+ &x_2 + &x_3 = 3 \\
&&x_2 - &x_3 = 1 \\
\end{alignat*}
\\
\text{Wähle } x_3 = t:
\quad
\begin{align*}
\Rightarrow x_2 &= 1 + t \\
\Rightarrow x_1 &= 1 - t
\end{align*}
\\
\boxed{
\Rightarrow
L_t = {(1-t; 1+t; t)}
} 2 ​ x 1 ​ + ​ x 2 ​ + x 2 ​ − ​ x 3 ​ = 3 x 3 ​ = 1 ​ W a ¨ hle x 3 ​ = t : ⇒ x 2 ​ ⇒ x 1 ​ ​ = 1 + t = 1 − t ​ ⇒ L t ​ = ( 1 − t ; 1 + t ; t ) ​ Überbestimmtes LGS 💡
Ein überbestimmtes LGS hat mehr Gleichungen als Unbekannte.
In diesen Fällen kann das LGS eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.
Vorgehen Man klammert eine Lösung aus und löst das restliche LGS
Beispiel ( x 1 + x 2 + x 3 = 1 ) x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 2 − x 1 − x 2 + x 3 = 7 x 2 − x 3 = − 3 \begin{alignat*} {5}
(&x_1 + &&x_2 + &&x_3 = 1) \\
&x_1 - &2 &x_2 + &2 &x_3 = 2 \\
-&x_1 - &&x_2 + &&x_3 = 7 \\
&&&x_2 - &&x_3 = -3
\end{alignat*} ( − ​ x 1 ​ + x 1 ​ − x 1 ​ − ​ 2 ​ x 2 ​ + x 2 ​ + x 2 ​ + x 2 ​ − ​ 2 ​ x 3 ​ = 1 ) x 3 ​ = 2 x 3 ​ = 7 x 3 ​ = − 3 ​ ( 1 − 2 2 2 − 1 − 1 1 7 0 1 − 1 − 3 ) IIb)  =  I)  +  II) ( 1 − 2 2 2 0 − 3 3 9 0 1 − 1 − 3 ) IIIb)  =  3 III)+IIb) ( 1 − 2 2 2 0 − 3 3 9 0 0 0 0 ) \begin{align*}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 2 & 2 \\
-1 & -1 & 1 & 7 \\
0 & 1 & -1 & -3
\end{array}
\right)
\\
\begin{array}{r}
\\\textit{IIb) = I) + II)}
\\\textit{}
\end{array}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 2 & 2 \\
0 & -3 & 3 & 9 \\
0 & 1 & -1 & -3
\end{array}
\right)
\\
\begin{array}{r}
\\\textit{}
\\\textit{IIIb) = }3\textit{III)+IIb)}
\end{array}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 2 & 2 \\
0 & -3 & 3 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\end{align*} IIb) = I) + II) ​ IIIb) = 3 III)+IIb) ​ ​ ​ 1 − 1 0 ​ − 2 − 1 1 ​ 2 1 − 1 ​ 2 7 − 3 ​ ​ ​ 1 0 0 ​ − 2 − 3 1 ​ 2 3 − 1 ​ 2 9 − 3 ​ ​ ​ 1 0 0 ​ − 2 − 3 0 ​ 2 3 0 ​ 2 9 0 ​ ​ ​ W a ¨ hle x 3 = t : ⇒ x 2 = − 3 + t ⇒ x 1 = − 4 \text{Wähle } x_3 = t:
\qquad
\begin{align*}
\Rightarrow x_2 &= -3 + t \\
\Rightarrow x_1 &=-4
\end{align*} W a ¨ hle x 3 ​ = t : ⇒ x 2 ​ ⇒ x 1 ​ ​ = − 3 + t = − 4 ​ Probe mit ausgeklammerten Gleichungen: t + ( − 3 + t ) − 4 = 1 2 t − 7 = 1 t = 4 ⇒ Eindeutige L o ¨ sung mit t = 4 : L = ( − 4 ; 1 ; 4 ) \text{Probe mit ausgeklammerten Gleichungen:}
\qquad
\begin{align*}
t + (-3 + t) - 4 = 1 \\
2t - 7 = 1 \\
t = 4
\end{align*}
\\{}\\
\boxed{
\Rightarrow \text{Eindeutige Lösung mit } t = 4 : L={(-4;1;4)}
} Probe mit ausgeklammerten Gleichungen: t + ( − 3 + t ) − 4 = 1 2 t − 7 = 1 t = 4 ​ ⇒ Eindeutige L o ¨ sung mit t = 4 : L = ( − 4 ; 1 ; 4 ) ​ LGS mit Parameter auf der rechten Seite 💡
Stehen bei einem LGS auf der rechten Seite ein oder mehrere Parameter , so wird das LGS auf Stufenform gebracht und schrittweise nach x n , x n − 1 , … , x 1 x_n, x_{n-1}, …, x_1 x n ​ , x n − 1 ​ , … , x 1 ​ 
Dabei ist die Lösungsmenge in der Regel von dem oder den Parametern abhängig.
Beispiel I) II) III) ( 3 − 2 1 2 r 5 − 4 − 1 2 1 3 − 2 2 r + 6 ) IIb)  =  II)  +  I) IIIb)  =  III)  +  2 I) ( 3 − 2 1 2 r 8 − 6 0 2 r + 2 7 − 1 0 6 r + 6 ) IIIc)  =  6 IIIb)  -  IIb) ( 3 − 2 1 2 r 8 − 6 0 2 r + 2 34 0 0 34 r + 34 ) \begin{align*}
\begin{array}{r}
\textit{I)} \\
\textit{II)} \\
\textit{III)}
\end{array}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 1 & 2r \\
5 & -4 & -1 & 2 \\
1 & 3 & -2 & 2r+6
\end{array}
\right)
\\
\begin{array}{r}
\textit{} \\
\textit{IIb) = II) + I)} \\
\textit{IIIb) = III) + }2\textit{I)}
\end{array}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 1 & 2r \\
8 & -6 & 0 & 2r+2 \\
7 & -1 & 0 & 6r+6
\end{array}
\right)
\\
\begin{array}{r}
\textit{} \\
\textit{} \\
\textit{IIIc) = }6\textit{IIIb) - IIb)}
\end{array}
&\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 1 & 2r \\
8 & -6 & 0 & 2r+2 \\
34 & 0 & 0 & 34r+34
\end{array}
\right)
\end{align*} I) II) III) ​ IIb) = II) + I) IIIb) = III) + 2 I) ​ IIIc) = 6 IIIb) - IIb) ​ ​ ​ 3 5 1 ​ − 2 − 4 3 ​ 1 − 1 − 2 ​ 2 r 2 2 r + 6 ​ ​ ​ 3 8 7 ​ − 2 − 6 − 1 ​ 1 0 0 ​ 2 r 2 r + 2 6 r + 6 ​ ​ ​ 3 8 34 ​ − 2 − 6 0 ​ 1 0 0 ​ 2 r 2 r + 2 34 r + 34 ​ ​ ​ ⇒ x 1 = r + 1 ⇒ x 2 = r + 1 ⇒ x 3 = r − 1 ⇒ L = { ( r + 1 ; r + 1 ; r − 1 ) } \begin{align*}
\Rightarrow &x_1 = r+1 \\
\Rightarrow &x_2 = r+1 \\
\Rightarrow &x_3 = r-1
\end{align*}
\\
\boxed{
\Rightarrow L=\{(r+1; r+1; r-1)\}
} ⇒ ⇒ ⇒ ​ x 1 ​ = r + 1 x 2 ​ = r + 1 x 3 ​ = r − 1 ​ ⇒ L = {( r + 1 ; r + 1 ; r − 1 )} ​
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